LOGIKA MATEMATIKA

Logika Matematika adalah cabang dari ilmu matematika yang mempelajari pernyataan, pernyataan majemuk dan nilai kebenarannya berdasarkan aturan-aturan dasar dalam logika matematika untuk penarikan suatu kesimpulan.

WARNING !
1. Kebenaran logika matematika berdasarkan aturan dasar yang berlaku dalam matematika Jangan meninjau dari nilai kebenaran lainnya.
2. Dalam belajar Logika matematika berlainan dengan belajar kalimat dalam Bahasa Indonesia atau bahasa lainnya.


Pernyataan adalah kalimat yang pasti
bernilai Benar atau bernilai Salah tetapi
Kalimat tidak sekaligus bernilai Benar dan Salah

.

CATATAN : Pernyataan ditulis dengan simbol huruf
kecil

Contoh pernyataan atau bukan kalimat di bawah ini :
1. 5 adalah bilangan genap
2. Lukisan Affandi indah
3. Hari ini hujan
4. Semua bentuk akar adalah bilangan Rasional
5. Sate termasuk makanan enak.

OPERASI OPERASI PADA PERNYATAAN.
1. INGKARAN / NEGASI.
Jika p adalah pernyataan bernilai Benar maka Ingkaran p ditulis ~ p bernilai Salah, dan sebaliknya.
Untuk membuat Ingkaran suatu pernyataan kita menggunakan kata : tidak benar p atau bukan p atau dengan kata bukan, tidak, dll, pada pernyataan yg sesuai.
Contoh :
Tentukanlah Ingkaran dari pernyataan di bawah ini :
1. p : 3 adalah bilangan prima
2. q : Bilangan genap pasti terbagi oleh 2
3. r : Nilai dari 2 log 8 = 3
2. INGKARAN PERNYATAAN BERKUANTOR.

Kuantor Universal ( Umum )
Menggunakan kata : Semua,
KUANTOR : Untuk setiap, seluruhnya dll.

Kuantor Eksistensial ( Khusus )
Menggunakan kata : ada , beberapa

Ingkaran dari pernyataan berkuantor Universal menjadi pernyataan berkuantor Eksistensial dan sebaliknya.
Contoh :
Tentukanlah Ingkaran dari pernyataan di bawah ini :
1. p : Semua bilangan prima genap
2. q : Untuk setiap bilangan genap pasti terbagi oleh 2
3. r : Beberapa mausia tidak makan beras

3. KONJUNGSI DUA PERNYATAAN.
Konjungsi dua pernyataan p dan q adalah pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung logika dan

Kata dan dapat diganti dengan kata “ tetapi ”, “Walaupun”, “ Meskipun”

Contoh Soal :

Tentukanlah nilai Kebenaran Pernyataan di bawah ini :

1. 2 3 = 6 dan 5 kurang dari 10
2. Hari kemerdekaan Indonesia tanggal 17 – 8 – 1945
dan hari kemerdekaan Philipina tanggal 29–2– 1941
3. 6 Bilangan Komposit dan Semua pilot Wanita

4. DISJUNGSI DUA PERNYATAAN.
Disjungsi dua pernyataan p dan q adalah pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung logika atau ditulis p v q dibaca p atau q
TABEL NILAI KEBENARAN DISJUNGSI
p q p v q

B B
B S
S B
S S

Nb : Disjungsi bernilai …….......jika …...………………………...
Contoh soal :

Tentukanlah nilai Kebenaran Pernyataan di bawah ini :

1. 2 3 = 6 atau 5 kurang dari 10
2. Hari kemerdekaan Indonesia tanggal 17 – 8 – 1945
atau hari kemerdekaan Philipina tgl 29–2– 1941
3. 6 Bilangan Komposit atau Semua pilot Wanita

5. IMPLIKASI DUA PERNYATAAN.
Implikasi dua pernyataan p dan q adalah suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung logika Jika p maka q ditulis p -> q

TABEL NILAI KEBENARAN IMPLIKASI
p q p -> q

B B
B S
S B
S S

Nb : Implikasi bernilai …….......jika …...……………………….
Contoh soal :

Tentukanlah nilai Kebenaran Pernyataan di bawah ini :

1. Jika 2 3 = 6 maka 5 kurang dari 10
2. Jika Hari kemerdekaan Indonesia 17 – 8 – 1945
maka hari kemerdekaan Philipina tgl 29–2– 1941
3. Jika 2 Bilangan prima maka 3 log 9 = 2

4. BI IMPLIKASI DUA PERNYATAAN.
Bi Implikasi dua pernyataan p dan q adalah suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung logika Jika dan hanya jika, ditulis p <=> q
dibaca p Jika dan hanya jika q.

TABEL NILAI KEBENARAN BI IMPLIKASI
p q p <=> q

B B
B S
S B
S S

Nb : BiImplikasi bernilai …….......jika …...……………………
Contoh :
p : 2 3 = 8
q : 2 log 8 = 3
p <=> q : ..............................................................................
atau : ..............................................................................

Contoh soal :

Tentukanlah nilai Kebenaran Pernyataan di bawah ini :

1. 6 : 3 = 2 Jika dan hanya jika 3 x 2 = 6
2. 2 < 5 bila dan hanya bila 2 x 7 > 5 x 7
3. 2 bilangan prima Jika dan hanya jika 2 bilangan
genap.


LATIHAN SOAL
LOGIKA MATEMATIKA

I. Manakah kalimat di bawah ini yang merupakan
pernyataan

1. Semua pilot laki-laki
2. Matematika adalah pelajaran yang sulit
3. Danau Toba terletak di Sumatra Barat
4. Semoga anda berhasil
5. Buktikan bahwa sin 2 x + cos 2 x =1

II. Tentukanlah Nilai kebenaran pernyataan di bawah ini:

1. Sudut lancip adalah sudut yang besarnya kurang dari atau sama dengan 90 0
2. Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil.
3. Garis 5 x – 10 y + 1 = 0 bergradien ½
4. Semua bilangan komposit adalah bilangan genap
5. Persamaan kuadrat x 2 – 5 x + 1 = 0 mempunyai akar- akar riil.


III. Tentukanlah nilai kebenaran pernyataan majemuk
berikut ini :

1. Jika ayam betina berkokok maka matahari terbit dari utara
2. Pangeran Diponegoro presiden Amerika atau Mahatir Muhammad perdana menteri Malaysia
3. 2 3 = 8 jika dan hanya jika 3 log 8 = 2
4. Persamaan Kuadrat : x 2 – 2 x – 8 mempunyai akar kembar dan sin 60 = ½ 3
5. Jika 3 log – 1 = 1/3 maka 3–1 = 1/3
6. Hari kemerdekaan Indonesia tanggal 17 Agustus 1945 dan Hari kemerdekaan Philipina tanggal 29 Februari 1948
7. Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya kurang dari 900 dan Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya lebih dari 900
8. Jika binatang mamalia adalah bintang memamah biak maka binatang Carnivora pemakan daging.
9. Jika Nilai maksimum f(x) = 5 Sin ( 2 x – ½ ) – 2 adalah 7 maka Nilai minimum f(x) = 5 Sin ( 2 x – ½ ) – 2 adalah 3
10. 2 0 = 1 jika dan hanya jika 2 log 1 = 0

IV. Tentukanlah Ingkaran dari pernyataan majemuk
berikut ini :
1. Jika hari hujan maka awan mendung
2. Ani seorang pelajar atau Ani seorang mahasiswa
3. Jika 3 log 5 = log 5 3 maka 5 log 3 = log 3 5
4. 5 x 3 = 15 dan 3 x 5 = 15
5. Ali seorang haji jika dan hanya jika ia telah menunaikan ibadah haji.




PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN

Dua pernyataan majemuk p dan q ekuivalen jika dan hanya jika kedua pernyataan mempunyai nilai kebenaran yang sama. p ekuivalen dengan q dituluis p  q.
ILUSTRASI
1. Pernyataan : “ Jika hujan lebat maka sungai meluap” ekuivalen dengan :
A. Jika tidak hujan lebat maka sungai tidak meluap
B. Hujan tidak lebat dan sungai meluap
C. Hujan tidak lebat dan sungai tidak meluap
D. Hujan tidak lebat atau sungai meluap
E. Hujan atau tidak sungai tetap meluap


Contoh :
Tentukanlah pernyataan yang ekuivalen dengan :
1. Ali sakit dan Ali tidak masuk sekolah 1.
2. Matahari terbit atau bulan tenggelam 2.
3. Jika hujan deras maka sungai banjir 3. a.
b.
4. 2 log 8 = 3 jika dan hanya jika 2 3 = 8

INGKARAN/NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK

ILUSTRASI
1. Ingkaran Pernyataan : “ Jika matahari terbit maka ayam jantan berkokok ” adalah ……..
A. Jika matahari tidak terbit maka ayam jantan tidak berkokok
B. Jika ayam jantan tidak berkokok maka matahari tidak terbit
C. matahari terbit dan ayam jantan tidak berkokok
D. matahari tidak terbit atau ayam jantan berkokok
E. matahari terbit dan ayam jantan tidak berkokok

Konvers, Invers dan Kontra Posisi dari suatu Implikasi

Contoh Soal :

1. Diketahui pernyataan : “ Jika Ali rajin belajar maka Ali akan lulus ujian Nasional ”.

a. Konversnya adalah : ……………………………………………………………………………………………………….
b. Inversnya adalah : ……………………………………………………………………………………………………….
c. Kontra posisinya adalah : ……………………………………………………………………………………………………….

2. Invers dari Kontraposisi : “ Jika Ali rajin belajar maka Ali akan lulus ujian Nasional ”
adalah ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. Negasi dari pernyataan : “ Jika ingin lulus ujian Nasional maka harus belajar giat ”.
Adalah ……………………………………………………………………………………………………………
4. Negasi dari Invers : “ Jika sungai banjir maka air sungai meluap ”.
adalah ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. Kontraposisi dari pernyataan : “ Jika manusia mati maka manusia harus beramal sholeh ” ekuivalen dengan
Pernyataan ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Atau pernyataan ……………………………………………………………………………………………………………………………………

6. Negasi dari Inverse pernyataan : “ Jika manusia mati maka manusia harus beramal sholeh ” ekuivalen dengan Pernyataan …………………………………………………………………………………………………………………………………
Atau pernyataan ……………………………………………………………………………………………………………………………………..

7. Kontraposisi dari Inverse pernyataan : “ Jika manusia mati maka manusia harus beramal sholeh ” ekuivalen
dengan Pernyataan …………………………………………………………………………………………………………………………………
Atau pernyataan ……………………………………………………………………………………………………………………………………..

V. Tentukanlah nilai kebenaran pernyataan majemuk berikut ini :

11. Jika ayam betina berkokok maka matahari terbit dari utara
12. Pangeran Diponegoro presiden Amerika atau Mahatir Muhammad perdana menteri Malaysia
13. 2 3 = 8 jika dan hanya jika 3 log 8 = 2
14. Persamaan Kuadrat : x 2 – 2 x – 8 mempunyai akar kembar dan sin 60 = ½ 3
15. Jika 3 log – 1 = 1/3 maka 3–1 = 1/3
16. Hari kemerdekaan Indonesia tanggal 17 Agustus 1945 dan Hari kemerdekaan Philipina tanggal 29 Februari 1948
17. Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya kurang dari 900 dan Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya lebih dari 900
18. Jika binatang mamalia adalah bintang memamah biak maka binatang Carnivora pemakan daging.
19. Jika Nilai maksimum f(x) = 5 Sin ( 2 x – ½ ) – 2 adalah 7 maka Nilai minimum f(x) = 5 Sin ( 2 x – ½ ) – 2 adalah 3
20. 2 0 = 1 jika dan hanya jika 2 log 1 = 0

VI. Tentukanlah Ingkaran dari pernyataan majemuk berikut ini :
6. Jika hari hujan maka awan mendung
7. Ani seorang pelajar atau Ani seorang mahasiswa
8. Jika 3 log 5 = log 5 3 maka 5 log 3 = log 3 5
9. 5 x 3 = 15 dan 3 x 5 = 15
10. Ali seorang haji jika dan hanya jika ia telah menunaikan ibadah haji.